Свойствата на модула на комплексно число

Обобщавайки резултатите, изложени по-горе, получаваме следните модули свойства:

1. êZ ê³ 0

2. Z ÎR Þ êZ êТова съвпада с абсолютната стойност на реално число

Последното свойство е вярно, тъй като аритметична експресията е неравенството на триъгълник записани за вектори, Z1, Z2, Z 1 + z2.

1.11. Сваляне на основата на комплексно число

Определение. Коренът на н-тата степен на комплексни числа се нарича комплексно число, N-ти мощност е равна на radicand. , W п = Z.

По този начин, равенство:

Но равен брой сложни модули трябва да са равни, и аргументи могат да се различават само по кратно на 2p, т.е. R п = R. NY = J + 2pk,

където има аритметична стойност на корена и К - всяко цяло число. По този начин, ние получаваме:

т.е. за извличане на основата на комплексно число, е необходимо да се отстранят корените на неговата част, и аргумента, разделено на индекса на корен.
Във формулата (*) броя к може да всички видове цели числа; но различни стойности корен само ще н и те ще отговарят на стойности:

За да докаже това, имайте предвид, че от дясната страна във формулата (*) ще бъде различен за две различни стойности на к = k1 и к = k2 когато аргументи и не се различаваха пъти 2P, и ще бъде идентичен, ако те са различни множество аргументи 2p. Но разлика (k1 -k2) на две числа от серията (**) в абсолютна стойност по-малко от п и следователно разликата не може да бъде кратен на 2p, т.е. п стойности на к от серия (**) съответстват на стойностите на п различни корени.

Сега нека k2 - цяло число (положителен или отрицателен) не е в броя на (**). Ние можем да си го представя в следния вид:

където Q - число и k1 - произволен брой серии (**), и следователно

т.е. стойност на k2 съответства на една и съща стойност на корена, и че стойността на k1. заключава серия (**).

По този начин, корен п-ти силата на комплексно число п има различни стойности.

Изключение от това правило е специален случай, когато radicand е нула, т.е. г = 0. В този случай, всички стойности са равни на нула корен горе.

1.12. Експоненциалното формата на комплекс брой

Ние се обобщи концепцията за експоненциална функция в случай на всяка сложна фигура. За недвижими изразител функция д х може да бъде представен като поредица:

Определяне на същите до експоненциалната функция в случай на чисто въображаема индекс, т.е. настроен:

Разделянето на реални и въображаеми условия, ние имаме тук:

запомнянето на разлагане уютна и siny в един ред, определяме:

По отношение на формула (1), изглежда съвсем естествено. За разлика от типа на формула (2) не причинява това усещане. Нека да видим дали е възможно от едни и същи изрази и + двупосочен получите достатъчно разумен брой система, поддържане на върховенството на допълнение (1), но се замести (2) всеки нов закон за умножение. Това може да изглежда като този нов закон? До голяма степен това зависи от това свойства искаме да дадем нов умножение. Например, би било абсурдно да се въведе чрез формула (а + BI) (в + ди) = променлив 2 + BDI. за тогава, например, когато б = 0, г = 0, ние ще имаме доста странно уравнение AC = AC 2.

Нека подчертая, изискванията, които ние ще представят нов умножение:

1) Умножение на недвижим номер. счита за нова система брой елемент (а = а + 0I), произволен брой Z = В + CI трябва да се получи същия резултат, както в случая на комплексни числа, т. е

По-конкретно, това означава, че за реални числа нов умножение трябва да съвпада с обичайните:

Тъй като същото важи и за добавяне (на (1), за да бъде (а + 0I) + (б + 0I) = (а + б) + 0I), с настоящото се реални номера, включени в новата система номер с естествената им аритметика.

2) В случай, че равенството

където А и Б - са всички реални числа. Например, (2R) (3i) = 6i 2.

3) за първи фактор и втората трябва да се разпределителни свойство, което се отнася за умножение с добавяне:

Разбира се, тези твърдения все още не ни дават възможност да се напише нов закон преди края на размножаването, но всички от тях трябва да бъде много. А именно,

Сега, за да запишете резултата, можем само да посочим какво е аз 2. Като аз 2 = -1, стигаме до многократно увеличаване на комплексни числа. Но това е - не е единствената възможност. По принцип, тъй като е необходимо само да работят, преди да ни принадлежи II система от числа, т.е.. Д. е броят на + Ци форма стр. Чрез определянето р и р, ние най-накрая видът на правото на умножение:

Предмет на нашето изследване, следователно, е определен. Сега можете да забравите за "неприлични" съображения, които ни доведоха до формулата (3), и просто да се каже, че ние считаме система от номера на формата А + BI със законодателството на допълнение (1), както и закона за умножение (3), където р и р - две фиксирани реални числа (определящи, така да се каже, "аритметични" номера на системата).

След внимателна преценка на формулата (3), ние сме доста лесно да се види, че една нова умножение има Комутативност:

- доста изненадващ резултат, като се има предвид, че сред исканията, представени на размножаването на такива имоти не е! Се извършва и асоциативност ((z1 z2) Z3 = z1 (z2 z3)), въпреки че проверката на този факт изисква малко повече търпение. имаме

сравняване на резултатите от двете изчисления може лесно да проверява тяхната самоличност.

Намаляването на три системи. Може да изглежда, че сме намерили безброй системи цифри, както във формулата (3) съдържа две произволни реални числа р и р. Но това не е вярно. Сега ще видим, че всяка система се свежда до едно от следните три неща:

I) на номер + BI. където I 2 = -1. (Комплексни числа);

II) на номер + BI. където I = 1, 2 (така наречената двойна номер);

III) на номер + BI. 2, където и = 0 (така наречените двойни номера).

Намаляване на никого делото на един от тези три, както следва.

От уравнение 2 аз = р + чи следва -qi = 2 и р или: