Частните висши производни поръчка

Както вече бе отбелязано, производни се наричат ​​първи ред частични или първите частични производни. Частични производни себе си могат да бъдат функции на няколко променливи върху определен набор. Тези функции могат да бъдат частични, така наречените повтаря, производни на X, Y и смесени или частични производни.

По този начин, втората частична производни са идентифицирани, както следва:

По подобен начин са дефинирани частични производни на 3, 4 и по-високи поръчки. Например, за функцията Z = F (х, у), имаме:

. Частичните производни от втори ред или по-висока, взети от различни променливи наречените смесени частични производни. За тези функции са получени. Имайте предвид, че когато смесени производни са непрекъснати, важи следното уравнение.

Пример 5. Виж втори ред частични производни на функцията

.

Решение. Първи ред частични производни на тази функция се намират в Пример 3:

И прави разлика по отношение на х и у, получаваме

,

;

;

.

5. екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за съществуване на екстремум

Частични производни себе си могат да бъдат функции на няколко променливи върху определен набор. Тези функции могат да бъдат частични производни по отношение на х и у. Те nazyvayutsyavtorymi частично или частично от втори ред и са определени zxx. zyy ", zxy или. съгласно определението

; . Последната част от втори ред частично производно нарича смесена. Смесеният частично производно на втория ред, най-общо казано, зависи от последователността, в която са взети променливите на която се изчислява на производно. По този начин, производно. Въпреки това, има теорема, който гласи, че ако смесени втория ред частични производни са непрекъснати, те не зависят от последователността, в която

изчислено частични производни на х и у.