Как да намерите най-определящ фактор на 3x3 матрица 1

Детерминанти матрици са често използвани при изчисленията, линейната алгебра и аналитична геометрия. Извън академичния свят детерминанти на матрици в постоянна нужда от инженери и програмисти, особено тези, които работят с компютърна графика. [1] Ако вече знаете как да намерите най-определящ фактор на матрицата на 2x2, тогава инструмент за намиране на определящ фактор за 3х3 ще трябва само събиране, изваждане и умножение.

стъпки Редактиране

Метод 1 от 2:
Търсене детерминанта Редактиране

Запис матрица от 3 х 3. Пишем матрицата на 3 х 3, който е обозначен с M, и да намерят своя определящ | M |. По-долу е най-общата форма на матрицата, която ще използвате, и матрицата за нашия пример:

• М = (а 11 12 13 21 22 23 31 32 а 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) a_-a_-а _ \\ a_-a_-а _ \\ a_- a_-a_ \ край> = 1-5-3 \\ \\ 2-4-7 4-6-2 \ край >>

Изберете ред или колона на матрицата. Този ред (или колона) ще подкрепи. Резултатът ще бъде един и същ, без значение каква линия или колона изберете. В този пример, нека да е първият ред. Малко по-късно, ще намерите няколко съвета за това как да изберете ред или колона, за да се опростят изчисленията.

• Нека да изберете първия ред на матрицата М в този пример. Кръгът 1 май 3. Общата форма на кръг a11 a12 A13.

Зачеркнете ред или колона на първия елемент. Вижте базовата линия (или колона с позоваване) и изберете първия елемент. Равен хоризонтална и вертикална линия през този елемент, като по този начин изтриване на колоната и ред с този елемент. Трябва да остане четири числа. Предполагаме, че тези елементи на новата матрица измерение 2 х 2.

• В този пример, базовата линия ще 1 май 3. Първият елемент е в пресечната точка на първата колона и първия ред. Кръст от реда и колоната този елемент, т.е. първия срок и първата колона. Запишете останалите елементи в матрица 2 х 2.
• 1 5 3
• 24 юли
• 46 2

Намерете най-определящ фактор за 2 х 2. Забележете, че определящ фактор (а б в г) а-б \\ с-г \ край >> изчислява като реклама - ж.к.. [2] Въз основа на това може да се изчисли детерминантата на получената матрица от 2 х 2, който, ако ще може да бъде определен като X. размножава двете числа на матрица X, са свързани диагонално от ляво на дясно (това е, както следва: \). След това се изважда произведение на две други номера по диагонала от дясно на ляво (това е, както следва: /). Използвайте тази формула за изчисляване на детерминантата на матрицата, вие току-що получи.

• В нашия пример, детерминантата на матрицата (4 7 6 2) 4-7 \\ 6-2 \ край >> = 4 * 2-7 * 6 = -34.
• Този фактор се нарича малка елемент, който ние избрахме нашата оригинална матрица. [3] С други думи, ние просто намери Мала a11.

Размножава полученият отговор на избрания елемент на матрицата М. припомни какво елемент от базовата линия (или колона) се използва, когато удари от другите елементи на ред и колона, за да се получи нова матрица. Размножава този елемент на получената Мала (детерминантата на матрица 2x2, които означават X).

• В нашия пример, ние избрахме a11 елемент. което е равно на 1. Умножете го по -34 (детерминантата на матрицата на 2x2) и получаваме 1 * -34 = -34.

Определяне на знака на резултата. След това ще трябва да резултатът се умножава с 1 или от -1 до получаване кофактор (кофактор) на избрания елемент. Знак на кофактор ще зависи от това къде в 3х3 матрица на разходен елемент. Не забравяйте тази проста схема признаци да знаете знака на кофактор:

• + - +
• - + -
• + - +
• Докато работехме с А11 на елемент. за които има знак +, ние ще умножим стойност от един (който е, оставете го както е). Кофактор на нашата елемент ще бъде равна на -34.
• Можете да намерите и в знак на алгебричната допълнение на формула (1) I + J. където I и J - брой на колоната и ред на избрания елемент, съответно. [4]

Повторете горната процедура с елемент ред втората подложка (или колона). Назад към първоначалната матрица на 3x3 и бар, който кръжеше в началото на изчисленията. Повторете всички стъпки с този продукт:

• Зачеркнете реда и колоната, този елемент. В нашия пример, ние трябва да избере най-a12 елемент (от 5). Ние изтриване на първата линия (1 5 3) и втора колона (5 4 6) 5 4 \\ \\ 6 \ край >> матрица.
• Запишете останалите елементи под формата на матрица 2x2. В този пример, матрицата ще има формата (2 7 4 2) 2-7 \\ 4-2 \ край >>
• Намери определящ фактор за тази нова 2x2 матрица. Използвайте по-горе формула рекламата - бв. (2 х 2-7 * 4 = -24)
• Размножава получената детерминанта за избор 3x3 матрица. -24 -120 * 5 =
• Проверете дали е необходимо резултатът се умножава по -1. Използване на формула (1) у. за определяне на знака на алгебрични добавянето. A12 за избрания елемент в таблицата е посочен "-" знак, същият резултат се получава и формула. Това означава, че ние трябва да смените знака: (-1) * (- 120) = 120.

Повторете с третия елемент. След това трябва да се намери друг кофактор на. Изчислете го до последната референтна точка линия или препратка колона. По-долу е кратко описание на начина, по който изчислява кофактор за a13 в този пример:

• Зачеркнете първия ред и третата колона за получаване на матрицата (2 4 4 6) 2-4 4-6 \\ \ край >>
• Неговата детерминанта е 2 * 6-4 * 4 = -4.
• Резултатът се умножава по A13 елемент. -4 * 3 = -12.
• a13 елемент има знак + в таблицата по-горе, така че отговорът е -12.

Добавете до резултатите. Това е последната стъпка. Имате ли нужда да се добавят елементи, получени кофактори референтната линия (или препратка колона). Сложете ги заедно и ще получите стойността на детерминантата на матрицата на 3x3.

• В нашия пример, детерминантата е равна на -34 + 120 + -12 = 74.

Изберете като референтна линия (или колона) на този, който има повече нули. Не забравяйте, че като отправна точка, можете да изберете някой ред или колона. Изборът на референтния ред или колона не влияе на резултата. Ако изберете линията с най-голям брой нули, трябва да се извърши по-малко изчисления, защото ще трябва да се изчисли кофактори само ненулеви елементи. Ето защо:

• Да речем, че сте избрали да а21 2 линейни елементи. а22. и А23. За да намерите определящ фактор, ще трябва да се намери детерминантите на три различни матрици на 2x2 измерение. Нека да ги наричаме A21. A22. и A23.
• Това е равно на определящ фактор за 3x3 a21 | A21 | - A22 | A22 | + A23 | A23 |.
• Ако и двете елементи A22 и A23 са равни на 0, тогава нашата формула става много по-кратък a21 | A21 | - 0 * | A22 | + 0 * | A23 | = A21 | A21 | - 0 + 0 = a21 | A21 |. Това е необходимо само да се изчисли кофактор на елемента.

Използвайте добавяне на линии, за да се опрости матрицата. Ако вземете една линия и да добавите към него друг, детерминантата на матрицата не се променя. Същото се отнася и за колоните. Подобни действия могат да се извършват по няколко пъти, в допълнение, можете да умножите стойността на константата низ (преди добавянето), за да получите най-много нули, колкото е възможно. Подобни действия могат да спестят много време.

• Например, ние имаме матрица от три реда (9 - 1 2 3 1 0 7 5 - 2) 9--1-2 \\ 3-1-0 \\ 7-5--2 \ край >>
• За да се отървете от елемент A11 9 на място. ние може да се размножава на втория ред -3 и добавете резултата с първия. Новият първия ред е [-1 2 9] + [0 -3 -9] = [2 -4 0].
• Това означава, че ние получаваме нова матрица (0 - 4, 2 3 1 0 7 5 - 2) 0--4-2 \\ \\ 3-1-0 7-5--2 \ край >> Опитайте се да направим същото и с колони, за да получите на място a12 нула елемент.

Не забравяйте, че за да се изчисли детерминантата на триъгълните матрици са много по-прости. Определящ фактор за триъгълните матрици се изчислява като произведение на елементите на главния диагонал, от А11 в горния ляв ъгъл, за да а33 в долния десен ъгъл. Пример за това е триъгълна матрица 3x3 измерение. Триъгълна матрица може да бъде от следните видове, в зависимост от местоположението на ненулеви стойности: [5]

• Горната триъгълна матрица: Всички ненулеви елементи се намират на главната диагонала и над него. Всички елементи под главния диагонал са равни на нула.
• Долна триъгълна матрица: Всички ненулеви елементи са разположени под главната диагонала и върху него.
• Диагонална матрица: Всички ненулеви елементи се намират на главната диагонала. Това е специален случай на горните матрици.