Производни на висок порядък - примери за изчисляване

Примери за пресмятане на производните на по-висок ред изрични функции. Това е полезно за изчисляване на производни с формула п-ия ред на.

Тук ние разгледаме случая, когато променливата у зависи от променливите х изрично:






.
Разнообразяване на функцията на променливата х. производно на първия ред, или негово производно:
.
Резултатът е нова функция. което е производно на функция. Разнообразяване на тази нова функция на променливата х. производно на втория ред:
.
Разнообразяване на функция. за производство на третия ред:
.
И така нататък. Разнообразяване на оригиналните функция п пъти, ние се получи производно с цел п или п-ти производно:
.

Производните могат да бъдат означени инсулти, римски цифри, арабски цифри в скоби или фракция на разликите. Например, производни на трети и четвърти ред са означени, както следва:
;
.

По-долу са формули, които могат да бъдат полезни за изчисляване на производни на по-висок ред.

Полезни производни с формула п-тия ред

Производното на сума от функции:
.
където - константа.

Лайбниц формула производно продукт на две функции:
.
където
- Биномен коефициент.

Намери производни на първи и втори ред следните функции:
.

Намираме производната на първия ред. Ние вземе постоянен знак на производното с формула и използването на производни на таблицата:
.
Ние прилагаме правилото за диференциране на съставна функция:
.
Тук.
Ние прилагаме правилото за диференциране на съставна функция и да използвате точка на деривати:
.
Тук.

Така че ние открихме, производната на първия ред:
.
За да намерите производно на втория ред, ние трябва да намерим производната на производната на първия ред, който е на функцията:
.






Да не се бърка с нотацията, ще означаваме тази функция писмо.
(А1.1).
След това, втората производна цел на оригиналната функция е производно на функцията.
.

Намираме производната на функцията. По-лесно е да се направи с помощта на логаритмична производна. Логаритъм (A1.1):
.
Сега ние се разграничат:
(A1.2).
Но - това е постоянна. Неговата производна е нула. Извлича се от вече намерен. Ostalnve намерите производни на функция правило съставния за диференциация.
;
;
.
Ние замести в (A1.2):

Намерете производната на третия ред:
.

Намираме производната на първия ред. За да направите това, ние приемаме на постоянни знак на деривата, като използвате таблицата на производно и се прилага правилото за намиране на производна на съставна функция.

Тук.
Така че ние открихме, производната на първия ред:
.

Намираме втората производна. За да направите това, ние откриваме, производната на. Прилагането формула деривати фракции.
.
Производното на втория ред:
.

Сега ние намираме необходимите производни на трети ред. За да направите това, ние се диференцират.
;
;

Производното на третия ред е
.

Намерете производната на шестия ред на следните функции:
.

Ако отворите на скобите, той ще бъде ясно, че основната й функция е полином от степен. Ние го напиша във формата на полином:
.
където - постоянни коефициенти.

След това се прилага формула п-ти производно на функцията на мощност:
.
За производно шести порядък (п = 6), имаме:
.
Това показва, че когато. Когато имаме:
.

Използвайте формулата на производните функциите на сумата:

По този начин, за да се намери производната на шестия ред на оригиналната функция, ние се нуждаем намерите само полином коефициента на най-висока степен. Намерете го, като се умножи най-високи правомощия в продукта на сумата от първоначалната функция:

Намери п-ти производно на функцията
.

Намерете най-п-тата производна на следните функции:
.
където - константа.

В този пример изчисление, което се извършва с помощта на комплексни числа. Да предположим, че имаме някаква сложна функция
(А5.1).
къде - в зависимост от реалните променливи X;
- имагинерната единица.
Разграничаване (А.1) п пъти, ние имаме:
(A5.2).
Понякога е по-лесно да намерите п-тата производна на функцията. Тогава н-тата производна на х се определя като най-реални и въображаеми части на п-ия производно.
;
.

Ние прилагаме този метод за решаване на нашия пример. Да разгледаме функцията
.
Тук се прилага формула на Ойлер
.
и въведе система за означаване
.
Тогава п-ти производно на оригиналния функция се изчислява по формулата:
.

Намираме п-ти производно на функцията
.
Към това можем прилага формулата:
.
В нашия случай,
.
след това
.

Така че ние открихме, че н-тата производна на сложна функция.
.
къде.
Нека да се намери истински част от функцията.
За това ние представляваме комплексно число в експоненциална форма:
.
където;
;.
след това
;

Да.
Тогава;
.
Когато.
.
.
.
И ще получим формула н-тата производна на косинуса:
.