Science Network и тригонометрията

Разстоянието в комплекс равнина от произхода (точките) на точка наречен модула на комплексно число. Модул комплекс брой е определен като валидна единица номер. Такова съвпадение нотация не води до объркване, тъй като модулът на реално число е равно на разстоянието от съответната точка на реалната ос до точката. Ако след това, очевидно, (фиг. 112).

Проблем 2.1 докаже, че за всички комплексни числа и неравенството.

Сега свържете точка до точка. Ъгълът, образуван от отсечката получена с реалната ос (по-точно, положителната посока на реалната ос) се нарича аргумент номер (фиг. 113 а). Този ъгъл обикновено се изразява в радиани.

Ако аргументът е, тогава, разбира се,

Записване на комплексно число във формата, където 0 $ "широчина =" "височина =" 51 35 "> се нарича тригонометрични форма на комплексно число. Тригонометричните формата можем да запишем всяко комплексно число, с изключение на нула (нула аргумент не посочи).

Пишем, например под формата на тригонометрични номер. Очевидно е, че и фиг. 113 б, че аргумент може да се приема:

Въпреки това, със същия успех, че е възможно да се каже, че аргументът е: защото равенството също е вярно. Като цяло, аргумент на комплексно число не е еднозначно определена и до прибавянето, където - цяло число. Можем да вземем всяко число, за което редица аргумент.

Задача 2.2 Търсене аргументи следните номера, а след това да напишете тези номера в тригонометрични форма: а); б); в); г); г); д).

Цел 2.3 докаже, че

Сега предполагам, че ни се дава комплексни числа и. Оставете ги да се умножаваш

(Ние използвахме формулите на синус и косинус сума).

Както можете да видите, ако се върнем към тригонометрични формата, размножаването на комплексни числа могат да бъдат написани от една проста формула:

Когато се умножи комплексни числа, умножени се добавят своите модули и аргументи.

Тъй като разделянето - действие противоречи на размножаването, а след това:

Когато се раздели комплексни числа на модулите са разделени, и аргументи се изваждат.

Така че, ние имаме предвид геометрична смисъла на умножение на комплексни числа, се разглежда като вектори в равнината. На пръв поглед, това е в противоречие с казаното в т. 4.0. където ни казаха, че геометрично определи размножаването на вектори в равнината е невъзможно. Представете си обаче, че са ни дадени два вектора, а ние искаме те да се размножават `` като комплексни числа '' - след това се оказва, че с цел да се установят техните аргументи, ние първо трябва да има ос, от която аргументи преброяване, и ако ние избираме `` недвижими ос '' по различен начин, а след това на продукта ще се промени!

Като се има предвид увеличаването на броя на комплексни числа, написани на тригонометрични форма, ние видяхме, че в размножаването на комплексни числа, умножени техните модули. Пишем тази собственост комплексни числа във формулата

Задача 2.4 докаже формула (3) на основата на определянето на размножаването на комплексни числа.

Цел 2.5 а) докаже, че; б) на изхода на тази идентичност с формула (3).

Формула (3) може да бъде пренаписан и без използване на комплексни числа. В действителност, ако, след това, повишаване на (3) на площада, получаваме следния идентичност:

Разбира се, тази идентичност е лесно да се провери директно.

Задача 2.6 докаже, че броят на

е сумата от квадратите на две числа.

Задача 2.7 докаже, че броят на

и е сумата от квадратите на две числа.

Налице е аналог на идентичност (4) за сумата от четири квадрати, показва, че продуктът от двете суми на четири квадратчета също са равни на сумата от четири квадрати:

Задача 2.8 докаже тази идентичност.

Има и един аналог на тези две идентичности за суми осем квадратчета, но това е всичко, и завършва: самоличността на `произведение на две суми площади е сумата от квадратите" "не съществува.

Сега нека видим какво следва от факта, че аргументите са комплексни числа се натрупват, когато се умножава.

Ако се построи комплекс брой на власт, това е, умножете го по себе си отново, то ще се изгради модул власт, и аргументът, се умножава по:

По-специално, ако това е, което се случва:

От формула DeMoivre лесно извод формули експресиращи и през и. За да направите това в лявата си страна, за да се отвори в скобите и да причини подобно. Когато, например, можете да получите това:

За да се получи като формула за произволно, е необходимо да се разкрие конзолите, и това изисква обща формула за конзолите, разкриващи в експресията. Пишем тази формула, но не го докаже. Тя изглежда по този начин.

С други думи, коефициентът ръка дясна е: знаменателят е продукт на първите положителни числа, числителят и - продуктът от последователни числа в низходящ ред, започвайки от. Въпреки, че факторите в нашата формула, написани като дроб, в действителност всички от тях - са цели числа.

Формулата за което сме написали, наречена Тригонометрия.

Задача 2.9 Проверете формулата за използване на две думи.

Проблем 2,10 а) Добави от формулата за биномно.

б) списък на формулите и.

Задача 2.11 гарантира, че във формула биномно коефициент, равен.

Проблем 2.12 Докажете, че във формула коефициентите на Нютон биномно и равно (което не е изненадващо: Ако лявата страна на самоличността не се променя, когато местата на климата, и същото следва да бъде от дясната страна).

Друго приложение формула DeMoivre - друг получаване на формулата за сумата от уют или Sines на ъглите, които аритметична прогресия (§4.5.). В действителност, дори ако трябва да се изчисли размерът

Помислете за комплексни числа. След това, разбира се. Ето защо,

Въпреки това, дясната ръка може да бъде изчислена като се използва формулата за сумата от геометрична прогресия:

(Ако сте притеснен, че ние се прилага тази формула, за да комплексни числа, погледнете в училището си учебник, тъй като се оказа, и се уверете, че буквално едно и също доказателство е подходящ и за комплексни числа.)

Сега е необходимо да се опрости изразът отдясно (това е обикновено, като се раздели комплексни числа, е необходимо да се размножават на числителя и знаменателя на фракцията и да се разделят на реални и въображаеми части в резултат на израза. Реалната част е равен и имагинерна част е равен.

Задача 2.13 Извършване на тези изчисления и се уверете, че отговорите съвпадат с тези, получени при Sec. 4.5.

с помощта на тригонометрични формата на комплексно число, повдигнато на степен Време е удобно, разбира се надявам, че един и същ тригонометрични форма и помощта при извършване на обратната операция - извличане на корените на комплексни числа. Ще покажем, чрез пример какво се появят нови явления в същото време.

Нека се петия корен на 32, тоест, да намерите броя, който се издига до петата власт, ще даде реални числа 32. Сред номер едно - броят 2. Да видим какво ще стане, ако смятате, че каквито и да било комплексни числа. Търсим числа, така че. Най-лесният начин да намерите номера на модула, ако се, а след това (за умножение на числа, умножени модули), където (I -Така - нормално реално число, така че няма недоразумения, ще не). Остава да се намери аргумент. За това пишем в тригонометрични формата :. След това, от където, които, от своя страна, е еквивалентна на системата на тригонометрични уравнения

Тази система очевидно отговарят на точно тези и само тези числа, за които броят съответства на референтната точка на тригонометрични кръга, което е, или (Следователно, решението на уравнението - тя е от формата, в която не всички от тези номера са различни: .. като комплексни числа аргументите на различни, едни и същи, различни комплексни числа са получени само при и след това стойностите ще бъдат повторени е така, всички корени, или, ако щете, всички корените на петата степен на 32-те са .:

Те вече не са. Ако ние представляваме всички корените на петата степен на 32 в комплексната равнина, откриваме, че те се намират на върховете на равностранен петоъгълник.

В нашите съображения играе никаква роля, нито, че премахнахме корен е от степен 5, нито факта, че ние сме я отстранили от 32. В действителност, за който и да е комплексно число има точно решения на (Тези решения се наричат ​​корените на степен). Когато изображението на комплекс равнина на степен на корените се намира в върховете на редовен -gon центриран при 0.

Задача 2.14 Find: а) трите кубичен корен; б) всички шест корените на един от степен 6 и ги направи в комплекс равнина.

Задача 2,15 а) докаже, че продуктът от двете корените на една степен - същия корен нивото на 1.

* Б) Да - всички степени на корените на 1 - цяло число. Докажете, че

Ние добавихме към нормалното недвижими номера номер, за да бъде в състояние да извлече корен квадратен от отрицателни числа; беше установено, че е възможно да се реши всеки квадратно уравнение в комплексни числа. Забележително е, че по принцип всяка алгебрични уравнение има корен в комплексни числа: няма нови номера за добавяне на този вход не е необходимо. Този важен факт, който е традиционно по-долу основните теорема на алгебра, се оказа в края на 18 век, великият немски математик K.F.Gauss.