Свойствата на модула и аргумента на комплексно число, кралицата на математиката

Свойствата на модула и аргумента на комплексно число:

Модулът на конюгат брой $ Z $ равен на модула на комплексно число $ Z $.

2 °. $ Z \ cdot \ бар г = | Z | ^ 2 $

Продуктът от комплексно число конюгат да е квадрата на модула на комплексно число.

3 °. $ \ Mathrm \ бар Z = - \ mathrm Z $, $ (\ mathrm Z \ пе \ пи) $

Номерът на аргумент, конюгат комплексно число $ Z $ равна на отрицателен аргумент на комплексно число $ Z $.

Модул комплексно число по-голямо или равно на най-голямата от абсолютните стойности на реални и въображаеми части и да не надвишава сумата от тези модули.

5 °. $ | Z_1 | - | z_2 | \ Le | z_1 + z_2 | \ Le | z_1 | + | Z_2 | $

Модул сума от две комплексни числа е по-голямо или равно на разликата от тези модули и номера по-малки или равни на сумата от броя на модулите.

6 °. $ | Z_1 \ cdot z_2 | = | Z_1 | \ Cdot | z_2 | $, $ \ mathrm (z_1 \ cdot z_2) = \ mathrm z_1 + \ mathrm z_2 $

Модул продукт на две комплексни числа е равна на произведението от модулите на тези комплексни числа, аргументът на продукта на тези две числа е равна на сумата от тези номера на аргументи.

Модул коефициент на две комплексни числа е равно на специално модулите на тези комплексни числа, аргументът специално тези две числа е равен на разликата в аргументите на тези номера.

8 °. $ \ Left | Z ^ п \ десен | = | Z | ^ п $, $ \ mathrm \ наляво (Z ^ п \ дясно) = N \ cdot \ mathrm Z $

Аргумент на комплексно число $ Z $ от $ п $ та степен е равна на произведението на експонента п $ $ аргумент на комплексно число.

корен модул п-та степен комплексно число равно Z chastnomum аргумент на комплексно число и експонента $ п $ на.

Теорема. Наборът от комплексни числа $ C $ е показател пространство с метричната $ P (z_1, z_2) = | z_1 - z_2 | $.

Следствие. За набор от числа от комплекс $ C $, можете да въведете всички концепции на метричните пространства:

1) $ \ varepsilon $ - окръжност с център на $ z_0 $: $ \ бар ф (z_0 \ varepsilon) = \ $;

2) пробита $ \ varepsilon $ - кръг на $ z_0 $: $ \ бар ф (z_0 \ varepsilon) = \ $;

3) $ G \ подмножество C $, концепцията за вътрешни, външни, гранични точки на $ G $;

4) Понятието отворен, затворен, свързаните комплекти.

Определение (границата на $ последователности (z_n) $). Брой $ $ z_0 наречен граница от $ последователности (z_n) $ $ z_0 = \ lim_ z_n $, ако $ \ lim_ р (z_n, z_0) = 0 $ и $ \ lim_ | Z-z_0 | = 0 $.

От съответните свойства на модула на комплексно число означава, че сближаването на $ последователности (z_n) $ до точка $ z_0 $ еквивалент sodimosti последователност $ (\ mathrm z_n) $ от $ \ mathrm z_0 $ друг posledovatelnsti $ (\ mathrm z_n) $ от $ \ mathrm z_0 $. Затова следната теорема притежава.

Теорема (Болцано-Вайерщрас). От всяка ограничена последователност на комплексни числа има конвергентна последователност.

Теорема (критерий Cauchy). За сближаването на $ последователности (z_n) $ е необходима и достатъчна, че е основен, който е $ \ forall \ varepsilon> 0 \; \ Съществува n_0 \; \ Forall д, т ((N \ ле n_0) \ - (m \ ле n_0) \ стрелкаНадясно | z_n - z_m | <\varepsilon)$.