Рационални уравнения, примери, разтвори

Ние продължаваме да се говори за решаването на уравненията. Тази статия се обсъждат в детайли принципите на рационални уравнения и рационални решения на уравнения в една променлива. Първо ние разбираме, какви уравнения се наричат ​​рационално, да се даде определение на рационални и дробни рационални уравнения, дайте примери. Тогава ние се алгоритми за решаване на рационални уравнения, и, разбира се, погледнете конкретни примери за решения с всички необходими обяснения.

Навигация в страниците.

Какво е най-рационално уравнение?

В началото на 8-ми клас на поуките от алгебра започне задълбочено проучване на рационални изрази. Скоро, разбира се, да започне запознанства уравнения, съдържащи рационални изрази в своите книги. Такива уравнения се наричат ​​рационални. Ние формулираме изрази информация под формата на определение на рационални уравнения.

Рационални уравнения - това уравнение, от двете страни на които са рационални изрази.

Понякога има определение в малко по-различна формулировка:

Рационално уравнение се нарича в лявата част на който е рационален израз, както и правото - нула.

Тук трябва да се отбележи, че в действителност и двете от следните определения са равностойни, тъй като за всяко рационално изрази P и Q уравнения P = Q-Q и P = 0 са еквивалентни уравнения.

Като се започне от определенията звучи, ние даваме няколко примера за рационални уравнения. Например, X = 1. 2 · х 12 х 2 · · г · Z 3 = 0. - всички рационални уравнения.

От показаните примери показват, че рационално уравнение е, обаче, и други видове уравнения могат да бъдат като единичен вариабилен и с две, три и т.н. променливи. В следващите параграфи, ние ще говорим за решаване на рационални уравнения в една променлива. Решаването на уравнения с две променливи и голям брой заслужават специално внимание.

В допълнение към разделението на рационални уравнения от броя на неизвестните променливи, те също са разделени в цяло число и накъсана. Ние даваме съответните определения.

Рационално уравнение се нарича цяло. ако и двете от лявата и дясната части от него са неразделна рационални изрази.

Ако най-малко една част от уравнението е рационално фракционна експресия, след това уравнение се нарича фракционна рационалното (или фракционна-рационално).

Разбираемо е, че уравненията не съдържат целия участък с променлива разлика, се изисква фракционна рационално уравнение участък да съдържа променлива (или променлива в знаменател). От 3 · х + 2 = 0 и (х + у) · (3 · х 2 1) + х = -y + 0,5 - това рационално числа уравнение, двете части са неразделна изрази. А и х # 58 (5 · х 3 + у 2) = 3 # 58; (х-1) # 58 5 - примери фракционни рационални уравнения.

В заключение на тази точка, имайте предвид, че добре познати в този момент линейни уравнения и квадратно уравнение са рационални интегрални уравнения.

Цялата разтвор на уравнения

Един от основните подходи към цялото уравнение е еквивалентно на тяхното намаляване на алгебрични уравнения. Това винаги може да се направи като изпълните следната са еквивалентни уравнението реализация.

• първият израз на правото в оригиналната цялото уравнение се прехвърля от лявата страна с обратен знак, за да получите право на нула;
• след това от лявата страна на уравнението формира цялата експресията се превръща в полином в стандартна форма.

Резултатът е алгебрично уравнение, което е еквивалентно на оригиналния цялото уравнение. Така, в най-простите случаи, разтворът на цялата уравнение се намалява към разтвора от линейни и квадратно уравнение, и по-общо - за решаване на алгебрични уравнения на степен п. За по-голяма яснота, ние гледаме на пробния разтвор.

Вземете цели корените на уравнение 3 · (х + 1) · (х-3) = х · (2 ​​· х-1) -3.

Ние намаляваме решаването на цялото това уравнение е еквивалентно на решаване на алгебрични уравнения с него. За тази цел първо прехвърляне на експресията на дясната страна на ляво, както се стигне в резултат на уравнението 3 · (х + 1) · (х-3) -x · (2 ​​· х-1) + 3 = 0. И, второ, да се трансформират израз, образуван от лявата страна, по образец на полином чрез извършване на съответното действие с полиноми. 3 · (х + 1) · (х-3) -x · (2 ​​· х-1) + 3 = (3 · х + 3) · (х-3) -2 · х 2 + х + 3 = 3 · х 2 -9 · х + 3-9-2 · х 2 · 3 х + х + х 2 = -5 · х-6. Така, разтворът на оригиналния цяло уравнението намалява до решаване на квадратно уравнение х 2 -5 · х-6 = 0.

Изчисли дискриминантен D = (- 5) 2 -4 · 1 · (-6) = 25 + 24 = 49. е положителна, това означава, че уравнението има две реални корени, който се намира в корените на квадратно уравнение формула:

За да сте сигурни, извършване на проверките са намерени корените на уравнението. Вижте кореновата 6. заместител на променливите х в уравнението е първоначалното число 3 · (1 + 6) + (6-3) = 6 · (2 ​​· 6-1) -3. това, което е едно и също, 63 = 63. Това е валидна числена равенство, следователно, х = 6 наистина е коренът на уравнението. Сега ние проверяваме коренът на -1. Има 3 · (1 + 1) * (-1-3) = (- 1) + (2 · (-1) -1) -3. където 0 = 0. Когато х = -1 първоначалното уравнение се прилага също за правилното цифров равенство, следователно, х = -1 е корен на уравнение също.

Трябва също така да се отбележи, че подаването на цялото уравнение под формата на алгебрични уравнения се свързва понятието "степен на цялото уравнение." Ще дам подходящо определение:

Степента на цялото уравнение се нарича степен еквивалентен на него алгебрични уравнения.

В рамките на тази дефиниция, цялото уравнение на предишния пример има втора степен.

В това не би в крайна сметка с решение на рационални уравнения, ако не бяха за едно нещо .... Както е известно, разтворът на алгебрични уравнения на степен по-висока от втората включва значителни трудности и уравнения за четвърта степен по-висока не съществува в основата на общите формули. Следователно, за да се реши уравненията толкова, колкото една трета, четвърта и по-високи степени често трябва да се прибягва до други методи за решение.

В такива случаи, понякога помага подход за решаване на рационални уравнения, въз основа на метода на факторинг. В същото време се придържат към следния алгоритъм:

• първо се уверете, че дясната страна на уравнението е нула, този израз се прехвърля от дясната част на цялото уравнение в ляво;
• След това, полученият експресията в лявата част е представена като продукт на няколко фактора, което позволява да вървят заедно няколко прости уравнения.

Алгоритъмът на разтвор на уравнението от факторинг изисква подробно обяснение на примера.

Решаване неразделна уравнение (х 2 1) · (х 2 -10 · х + 13) = 2 · х · (х 2 -10 · х + 13).

Първо, както обикновено прехвърляне експресията на дясната страна на лявата страна на уравнението, не се забравя да променя знака, ние получаваме (х 2 1) · (х 2 -10 · х + 13) - 2 · х · (х 2 -10 · х + 13 ) = 0. Налице е съвсем очевидно, че не е целесъобразно да се превърне в лявата част на уравнението получен в стандартната полином на формата, тъй като тя ще даде алгебрични уравнения на четвърта степен на формата х 4 -12 · х + 3 2 · х 32 -16 · х-13 = 0. разтворът от които е трудно.

От друга страна, е очевидно, че в лявата страна на това уравнение може да фактор от общ фактор х 2 -10 · х + 13. като по този начин го представя като продукт. Имаме (х 2 -10 · х + 13) · (х 2 -2 · х-1) = 0. Получената уравнение е еквивалентно на оригиналната цяло уравнението, и, на свой ред, могат да бъдат заменени от комбинация от две квадратно уравнение х 2 -10 · х + 13 = 0 и 2 х -2 · х-1 = 0. Намирането на своите корени от познатите формули на корените чрез дискриминантата не е трудно, корените са равни. Те са желаните корените на първоначалното уравнение.

За решения на рационални уравнения е полезно като метод за въвеждане на нова променлива. В някои случаи, тя позволява да се премине към уравненията, степента на които е по-ниско от нивото на целия оригинален уравнението.

В числителя, разположен от лявата страна на фракционна рационално уравнение е нула, така че стойността на тази фракция е равна на нула за всички х. в която има смисъл. С други думи, решението на това уравнение е всяка стойност на х TCC тази променлива.

Остава да се определи обхвата на допустимите стойности. Тя включва всички такива стойност на х. в която Х4 · х 5 + 3 ≠ 0. Разтвори на 5 + х 4 · х 3 = 0 са 0 и -5. тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнение 3 х · (х + 5) = 0. и това от своя страна е еквивалентен на набор от две уравнения х 3 = 0 и х + 5 = 0. откъдето тези корени са видими. Следователно желания обхват толерантност са всички х. освен х = 0 и х = -5.

По този начин, фракционна рационално уравнението безкрайно много решения, които са произволен брой различни от нула и минус пет.

Най-накрая, че е време да се говори за решението на дробни рационални уравнения от всякакъв вид. Те могат да бъдат написани като R (х) = а (х). където R (х) и S (х) - рационални изрази, и поне един от тях фракция. Гледайки напред, ние казваме, че тяхното решение се свежда до решаването на уравнения на познатия вид.

Известно е, че прехвърлянето от една срок на уравнението на друг с противоположен знак води до еквивалентна уравнението, така уравнение R (х) = а (х) се равнява на уравнение R (х) -S (х) = 0.

ние също така знаем, че можем да рационална израз, за ​​да се превърнат в една рационална дроб. по същия начин, равен на този израз. По този начин, рационално експресия в лявата страна на уравнение R (х) -S (х) = 0, винаги могат да се превърнат в идентично равна рационален част на формата.

Така че се излиза от фракционна рационално уравнение R (х) = а (х) преминават към уравнението. и разтвор, както видяхме по-горе, се редуцира до решаване на уравнение р (х) = 0.

Но тук ние задължително трябва да се вземе предвид факта, че когато г (х) -s подмяна (х) = 0 нататък. продължи да р (х) = 0. разширяване на обхвата на толерантност променливите х може да се случи.

Следователно, първоначалното уравнение R (х) = а (х) и уравнението Р (х) = 0. към която са се, те могат да бъдат neravnosilnymi и решаване на уравнение р (х) = 0. можем да получим корените, които са странични корени на първоначалното уравнение R (х) = S (х). Идентифициране и включва странични корени могат да отговорят, или при проверка или проверка на тяхното членство DHS оригинален уравнение.

Ние обобщава тази информация в алгоритъм решение е частична рационално уравнение R (х) = а (х). За решаването на фракционна рационално уравнение R (х) = S (X). трябва

• Вземете най-дясната нула чрез прехвърляне на израза от дясната страна с обратен знак.
• Извършване на операции с полиноми и фракции от лявата страна на уравнението, като по този начин го трансформира в рационално част на формата.
• За решаване на уравнение р (х) = 0.
• Идентифициране и премахване на чужди корени, които се извършват от тях заместване в оригиналния уравнение, или чрез проверка на техните доставки на Endesa оригиналното уравнение.

За по-голяма яснота ние показваме цялата верига решения фракционна рационални уравнения:
.

Нека да разгледаме няколко примера за решения с подробно обяснение на решението се оказва да се изясни информация, дадена блок.

Решете дробни рационални уравнения.

Ние ще действа в съответствие с наскоро получена алгоритъм решение. И първоначално удължен условията на дясната страна на ляво, в резултат отидете на уравнението.

Във втория етап, трябва да се превърне фракционна рационално експресията в лявата страна на това уравнение за формата на фракция. За да направим това, извършва намаляване на рационални фракции до общ знаменател и опростяване на получената експресията. Така стигаме до уравнението.

В следващата стъпка трябва да реши уравнението -2 · х-1 = 0. Ние считаме, х = -1 / 2.

Остава да се провери дали не броя намерени -1/2 странични корени на оригиналното уравнение. За да направите това, можете да направите проверка фон или да намерят DHS променлива х от оригиналния уравнението. Демонстрирайте на двата подхода.

Започваме от проверката. Заместването в първоначалното уравнение за променлив брой х -1/2. Ние получаваме. което е същото, -1 = -1. Заместване дава правилния цифров равенство, обаче, х = -1/2 е корен на първоначалното уравнение.

Ние сега се покаже как последната точка на алгоритъма, извършена от DHS. Обхватът на допустимите стойности на първоначалното уравнение е множеството от всички номера, с изключение -1 и 0 (когато х = 1 и х = 0 Vanish знаменатели). Намерено в предходния етап в основата на х = -1/2 принадлежи към DHS, следователно, х = -1/2 е корен на първоначалното уравнение.

Помислете още един пример.

Намерете корените на уравнението.

Ние трябва да решим дробен рационален уравнението, минавайки през всички стъпки на алгоритъма.

На първо място, прехвърлянето на срока на дясно на ляво, ние получаваме.

На второ място, ние се превърне израз, образуван от лявата страна. В резултат на това се стига до уравненията х = 0.

корен му е очевидна - тя е равна на нула.

Четвъртата стъпка е да разберете, не е открит коренът на аутсайдерите за началните дробни рационални уравнения. Когато тя е заместена в първоначалното уравнение получаваме експресията. Очевидно е, че това няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. От което ние заключаваме, че 0 е корен на аутсайдер. Следователно, първоначалното уравнение все още няма корени.

В заключение, ние добавяме, че не е необходимо да се сляпо се придържат към по-горе алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, въпреки че е универсален. Просто понякога в размер други уравнения преобразуване позволяват да се стигне до резултат по-бързо и по-лесно.